Gözden Geçirilmiş Yanıt:
Bu yanıtı yazdıktan ve bir miktar olumlu oy aldıktan sonra, Peter Hoffman dikkatimi Ludwig Wittgenstein’ın Kurt Gödel’in ispatı hakkında yazdığı ve yorumcuların büyük ilgisini çekmiş olan “meşhur bir paragraf”tan söz etmediğime çekti. Bu nedenle, değiştirmeden bıraktığım orijinal yanıtın ardından, söz konusu paragraf hakkında bir ek (appendix) ekledim.
ORİJİNAL YANIT:
A2A için teşekkürler. Tüm alıntılar Wittgenstein’ın Remarks on the Foundations of Mathematics adlı eserinden alınmıştır (ed. Wright, Rhees ve Anscombe; çev. Anscombe, 3. baskı).
Wittgenstein şöyle der:
Benim görevim, Russell’ın mantığını içeriden değil, dışarıdan eleştirmektir.
Yani onu matematiksel olarak eleştirmek değil — aksi takdirde matematik yapıyor olurdum — fakat onun konumunu, işlevini eleştirmek.
Benim görevim (örneğin) Gödel’in ispatı hakkında konuşmak değil, onu dolanmaktır. (s. 383)
Bununla ne demek istiyor olabilir?
Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead, aritmetiği mantığa indirgemek istiyorlardı; yani aritmetiğin tüm doğrularının türetilebileceği bir mantıksal aksiyomlar kümesi kurmayı amaçlıyorlardı.
Gödel ise buna matematiksel bir saldırı yöneltti: Sistemin tutarlı olması durumunda, aritmetiğin tüm doğrularını ispatlayamayacağını gösterdi.
Wittgenstein’ın Russell ve Whitehead’e yönelttiği matematik-dışı eleştiri ise (kanaatimce) şunu göstermeyi amaçlar: Aritmetiğin baştan itibaren böyle bir mantıksal temele ihtiyacı yoktur.
Bu matematik-dışı eleştiri, Gödel’in matematiksel eleştirisini olduğu gibi bırakır. Wittgenstein kimsenin matematiğini eleştirmez. Ancak Gödel’in ispatının felsefi önemine dair anlayışımızı değiştirebilir.
Eğer aritmetiğin mantıksal temellere ihtiyaç duyduğunu düşünüyorsam, bu temellere karşı getirilen matematiksel argüman sarsıcı olacaktır. Ama eğer felsefi gerekçelerle bu temellere ihtiyaç olmadığını düşünüyorsam, o zaman bu matematiksel argümanın felsefi bir önemi kalmaz.
Elbette mesele bu kadar basit değildir; Wittgenstein’ın Gödel’in ispatının hiç felsefi önemi olmadığını düşündüğünü söylemek doğru olmaz. Belki de söylediği şey, bu ispatın çoğu kişinin düşündüğü türden bir felsefi öneme sahip olmadığıdır — ve bu durumun kendisi de felsefi açıdan önemlidir.
Wittgenstein ayrıca şöyle der:
Ne kadar tuhaf gelse de, Gödel’in ispatıyla ilgili olarak benim görevim yalnızca “Bunun ispatlanabileceğini varsayalım” gibi bir önermenin matematikte ne anlama geldiğini açıklığa kavuşturmaktan ibaret görünüyor. (s. 388–389)
Bu, Wittgenstein’ın Gödel’in ispatını reddetmediği görüşümü destekler. O, bunun bir ispat olduğunu inkâr etmez; fakat bizi şu soruyu sormaya yönlendirir: “İspat tam olarak nedir?”
Gödel’in ispatı neden “ispat” kavramını sorgulatır?
Gödel’in neyi kanıtladığına dair kısaltılmış bir açıklama:
Elimde bir sistem (S) ve ayrıca sistemimdeki her önermeye bir sayı atamamı sağlayan bir meta-sistem (M) var. Sistemde sayılar hakkında yapılan ifadeler, o sayının karşılık geldiği önermenin özellikleri hakkında bilgi verir.
Eğer bir sayı , {Proof} kümesinin bir elemanıysa, sistem bu sayıya karşılık gelen önermeyi ispatlayabilir.
Önerme 343: “343, {Proof} kümesinin bir elemanı değildir.”
Bu şunu gösterir: Eğer sistem tutarlıysa, sistem içinde Önerme 343’ün bir ispatı yoktur — ve bu sayede Önerme 343 ispatlanmış olur.
Peki Önerme 343’ün bir ispatı var mı, yok mu?
Vardır — ama bu ispat S içinde değildir.
S içinde bir şeyin ispatı vardır, fakat bu “S-içinde-ispat” değildir.
Bu başlangıçta kafa karıştırıcıdır ve Wittgenstein tam olarak bu karışıklığı açıklamaya çalışır.
Biz genellikle şöyle düşünürüz:
- Bir sistem vardır,
- Kuralları vardır,
- Bu kurallarla ispatlar yapılır.
Fakat sonra şunu öğreniriz:
- Sistem içinde bulunan bir şey vardır,
- Bu şey ispatlanabilir,
- Ama sistemin kendi kurallarıyla ispatlanamaz.
Dolayısıyla:
- Sistem kurallarıyla ispatlanabilenler, ispatlanabilir olanların yalnızca bir alt kümesidir.
Bu yüzden “S-içinde-ispatlanabilir” kavramını, “S içinde olup ispatlanabilir olanlar”ın gerçek bir alt kümesi olarak ele almak gerekir.
Wittgenstein şöyle yazar (s. 121):
“P ispatlanamaz” önermesi, ispatlandıktan sonra öncekinden farklı bir anlama sahip olur.
Bunun doğru olduğunu düşünüyorum. Gödel’in ispatını bilmeden önce, iyi biçimlenmiş bir formüle bakar ve “Bunun bir ispatı var mı?” diye sorarım.
Gödel’i öğrendikten sonra ise şöyle sorarım:
- “Bunun S-içinde bir ispatı var mı?”
- “Yoksa başka bir sistemde mi ispatlanabilir?”
Artık elimde tamamen yeni bir olanaklar kümesi vardır.
Bu akıl yürütme Gödel’in ispatını reddetmez. Aksine, ona dayanır.
Gödel’in bizi felsefi düşünmeye zorladığını kabul eder; fakat bunu:
- aritmetiğe olan güvenimizi sarsarak değil,
- ya da Russell ve Whitehead’in aksiyomlarına matematiksel bir alternatif bulmaya zorlayarak değil.
Bu konu hakkında daha çok şey söylenebilir, fakat zaman ilerliyor ve yanıtı fazla uzatmak istemiyorum. Wittgenstein’ın Gödel’in ispatını reddetmediğini neden düşündüğümü göstermiş olduğumu umuyorum.
EK: Meşhur Paragraf — Nedir Bu?
Appendix III, §8 (s. 118–119) büyük eleştirilere yol açmıştır. Wittgenstein’ın Gödel’in ispatını kabul etmemek için bir gerekçesi olduğu düşüncesi büyük ölçüde bu paragrafa dayanır; dolayısıyla ilk yanıtımda ele alınmalıydı. Peter Hoffman bu konuda beni uyarmakta haklıydı.
Wittgenstein şöyle bir durumu hayal eder:
Birisi benden tavsiye istiyor ve şöyle diyor:
“Russell’ın sembolizmi içinde bir önerme kurdum (buna ‘P’ diyelim) ve belirli tanımlar ve dönüşümler aracılığıyla bunu şöyle yorumlayabiliyorum: ‘P, Russell sisteminde ispatlanamaz.’
Bu durumda, bu önermenin bir yandan doğru, diğer yandan ispatlanamaz olduğunu söylemem gerekmez mi?
Çünkü eğer yanlış olsaydı, o zaman ispatlanabilir olurdu — ki bu mümkün değildir!
Ve eğer ispatlanırsa, o zaman ispatlanamaz olduğu ispatlanmış olur.
Dolayısıyla yalnızca doğru ama ispatlanamaz olabilir.”
Wittgenstein cevap verir:
Nasıl ki “hangi sistemde ispatlanabilir?” diye soruyorsak, “hangi sistemde doğru?” diye de sormalıyız.
- “Russell sisteminde doğru” = Russell sisteminde ispatlanmış
- “Russell sisteminde yanlış” = karşıtı ispatlanmış
Şimdi “yanlış olduğunu varsayalım” ne demektir?
- Russell anlamında bu, “karşıtının Russell sisteminde ispatlandığını varsayalım” demektir
- Eğer bunu varsayarsanız, artık “ispatlanamaz” yorumunu terk etmeniz gerekir
Aynı şekilde:
- Eğer önerme Russell anlamında doğruysa, yine aynı sonuç çıkar
- Eğer başka bir anlamda yanlışsa, Russell sisteminde ispatlanmasıyla çelişmez
(Bir oyunda “kaybetmek” olarak adlandırılan şey, başka bir oyunda kazanmak olabilir.)
Gödel’in tepkisi
Gödel bu yorumdan etkilenmemiştir. Karl Menger’e yazdığı bir mektupta şöyle der:
Karar verilemez önermeler teoremimle ilgili olarak, alıntıladığınız pasajdan Wittgenstein’ın bunu anlamadığı (ya da anlamazdan geldiği) açıkça görülüyor.
Bunu bir mantıksal paradoks olarak yorumluyor; oysa bu, matematiğin tamamen tartışmasız bir alanına ait — sonlu sayı teorisi ya da kombinatorik içinde yer alan — bir matematik teoremidir.
Peter Hoffman, “Wittgenstein hayranı” (fanboy) filozoflardan söz eder. Gerçekten de Wittgenstein, her ifadesinde derin bir içgörü bulunduğunu ve görünen hataların aslında derin anlayışın sonucu olduğunu düşünen fanatik takipçiler çekmektedir.
Bazı filozoflar bu pasajın aslında Gödel’in çalışmasına dair derin bir kavrayışı gizlediğini ve zavallı Kurt’un Ludwig’in ince noktasını kavrayamadığını ileri sürmüşlerdir. Bu tür yorumları ayrıntılı biçimde incelemiş değilim, ancak bu yaklaşıma karşı oldukça şüpheciyim. Eğer “Wittgenstein hayranı” olmak buysa, kendimi böyle görmüyorum.
Olası yanlış anlama
Bazı yorumculara göre Wittgenstein, Gödel’in makalesinin girişindeki şu ifadeye tepki vermektedir:
Bu sonuç ile Richard antinomisi arasındaki benzerlik açıktır; ayrıca “yalancı” antinomisiyle de yakın bir ilişki vardır… Dolayısıyla kendi ispatlanamazlığını ifade eden bir önerme ile karşı karşıyayız.
Wittgenstein bu benzerliği abartmış ve Gödel’in bir paradoks sunduğu sonucuna varmış olabilir.
George Kreisel’e göre Wittgenstein, giriş kısmı onu kızdırdığı için ispatın tamamını bile okumamış olabilir. Michael Potter da Wittgenstein’ın matematiksel metinlerin genellikle sadece giriş kısımlarını okuyup eleştirecek varsayımlar aradığını belirtir.
Bu, yorumlarının yüzeysel bir anlayışa dayandığını düşündürür.
Benim değerlendirmem
Bütün bunlara rağmen, Wittgenstein’ın Gödel’i reddetmediği yönündeki ilk sonucumu geri çekmeli miyim? Şu an için hayır.
Çünkü:
- Wittgenstein açıkça amacının Gödel’i reddetmek değil, “ispat” kavramını açıklığa kavuşturmak olduğunu söyler
- Ayrıca geç döneminde felsefenin matematiğe müdahale etmemesi gerektiğini savunur
Matematiksel bir teoreme felsefi bir itiraz yöneltmek, bu ilkeyle çelişirdi.
Sonuçta
Bir matematiksel teoremin felsefi sonuçları olabilir. Bu da şu anlama gelir:
- Felsefi bir teori, matematiksel bir sonuçla uyumsuz olabilir
- Dolayısıyla filozoflar, Gödel’in sonuçlarını yorumlarken hataya düşebilir
Bu durumda Wittgenstein’ın bazı ifadeleri Gödel teoremleriyle uyumsuz olabilir — ama bu, onları reddettiği için değil, sonuçlarını tam kavrayamadığı için olabilir.
Son değerlendirme
Wittgenstein Appendix III §5’te şu soruyu sorar:
Russell sisteminde doğru ama ispatlanamaz önermeler olabilir mi?
§6’da şöyle der:
Bir şeyin doğru olması, onu hangi koşullarda ileri sürdüğümüzle ilgilidir. Russell sisteminde bir önermeyi:
- ya temel bir yasa olduğu için,
- ya da ispatlandığı için ileri süreriz.
Dolayısıyla:
“Russell sisteminde doğru” = “ispatlanmış ya da temel ilke”
§7’de ise:
Başka bir sistemde ispatlanan bir önerme, artık Russell sistemine ait bir önerme değildir.
Bu durumda:
Eğer
P = “P’nin Russell sisteminde bir ispatı yoktur”
ise, bu önerme sistemin temel ilkesi olmadığından, yalancı paradoksunun bir versiyonuna dönüşür.
Gödel’in standart yorumu vs. Wittgenstein
Gödel’den öğrendiğimiz klasik ders:
- Doğruluk ≠ İspatlanabilirlik
- İspat, bir sisteme göre göreli bir kavramdır
Ama eğer başlangıçta:
- Doğruluk = İspatlanabilirlik
diye düşünürsek, Gödel cümlesi bir paradoks gibi görünür.
Wittgenstein şu radikal ihtimali düşünür:
Belki de çelişkiler o kadar büyük bir sorun değildir; belki onlarla yaşayabiliriz.
Bu:
- çılgınlık gibi görülebilir
- ya da parakonsistent mantığın erken bir sezgisi olarak
Neden çelişkileri kabul etmeye hazır?
Eğer:
- Gödel’in bir “yalancı cümlesinin doğruluğunu” kanıtladığını düşünürseniz
- ve filozof olarak bu sonucu kabul etmek zorunda olduğunuzu varsayarsanız
bu durumda bir çözüm yolu:
→ çelişkileri kabul etmektir
Eğer durum buysa, Wittgenstein çelişkileri Gödel’i reddettiği için değil, onu kabul ettiği için kabule hazırdır.
Geç oldu, artık uyumalıyım. Mümkün olduğunca açık olmaya çalıştım. Başta bu yanıtı kısa tutmak istemiştim; ama görünen o ki fazlasıyla uzattım
kaynak: Benjamin Murphy, PhD, Felsefi teoloji, Oxford Üniversitesi, platform: Quora.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder