Bisikleti ışık hızında sürmek

Matematik (yanı sıra da yakın akrabası olan mantık) insan aklının en güzel uğraşı alanlarıdır. İlkinin cevabını paylaştığım, ikincisinin cevaplandırılmasını ise okura bırakacağım iki örnekle argümanımın altını doldurmaya çalışacağım. 


(i): Bisiklet ışık hızında gider mi?

Bir a noktasından 30 km uzakta olan diğer bir b noktasına otomobilinizle 1 saatte gittiğinizi varsayılmaktadır. Dönüş sırasında ise, aceleniz olduğu için, çok daha hızlı gitmek zorundasınız. Soru şu: gidiş ve dönüş dahil, bütün yolculuğunuz sırasındaki ortalama hızınızın 60 km/saat olması için dönüş yolundaki ortalama hızınızın kaç km/saat olması gerekmektedir? 

Basit gibi gözüken, ancak bizi, onu ilk algıladığımızda sandığımızdan daha fazla meşgul etmeye namzet olabilecek olan zarif ve zekice bir soruyla karşı karşıyayız doğrusu.  

Bu sorunun; limit, türev, integral, seriler, denklemler gibi matematiksel alet ve imkânlarla yapılabilecek olan birden çok çözümü mevcuttur. Ancak bu çözümler hem teknik ve hem de uzun olduğundan, matematikle haşır neşir olmayan  ortalama okura pek de cazip gelmeyecektir. 

Öte yandan, söz konusu sorunun sadece mantıksal çıkarımla yapılan başka bir çözümü daha vardır. Bu, herkesin rahatlıkla anlayabileceği çok basit ve zarif bir hal yoludur.  

Şimdi bu çok basit ve ama zekice olan çözüm yolunu dillendirmeye çalışacağım. 

Gidiş – dönüş 60 km olan yolu saatte 60 km ortalama hızla kat etmek ifadesi, bu yolu 1 saatte almak deyişiyle eş anlamlıdır. Oysa, biz, problemin bize sunuluşundan dolayı biliyoruz ki, zaten 30 km’lik a’dan b’ye gidiş sırasında 1 saat geçmiş durumdadır. Dolayısıyla, bu seyahatin gidiş + dönüş = 60 km olan toplamının ortalama 60 km/saatlik bir hızla yapılabilmesi için, dönüş sırasında ışık hızıyla bile yolculuk yapmamız yeterli olmayacaktır. Öte yandan, Einstein’ın kanıtladığı İzafiyet Teorisine göre, kütlesi olan hiçbir fizikî nesne, kabaca 300,000 km/saniye olan ışık hızının %90’ına bile erişemez. Öyleyse, bu durumda, Efsanevi ‘Uzay Yolu’ dizisinde kullanılan ‘ışınlama’ tekniği dışındaki hiçbir metot bizim işimize yaramayacaktır.

Söz konusu ışınlama tekniğini, en azından şimdilik kaydıyla, sadece bir bilim-kurgu fantezisi olduğuna göre, bu probleme verilecek doğru cevap: ‘kaç km ile, ne kadar yüksek bir hızla dönülürse dönülsün, toplam seyahatin ortalama hızı her durumda 60 km/saatten daha düşük olacaktır ‘ şeklinde olmalıdır. 

(ii): 2 = 1'mi dediniz? Nasıl yani?!? 

Yukarıdaki illüstrasyonda yer alan denklem setinin son adımı olan 2 = 1 sonucuna bakıldığında, bunun yanlış olduğu hemen anlaşılmaktadır. Bahse konu bu bir dizi aritmetik denkleminin acaba hangi adımında (adımlarında) aritmetik kuralları ihlâl edilerek hatalı sonucun oluşmasına yol açılmıştır?

Bundan sonraki satırlar, bahse konu denklem setinin mercek altına alınarak, hatalı sonuca neden olan operasyonel yanlışın bulunması amacına hasredilecektir. 

Şimdi gelin, birlikte, mantık kurallarına aykırı olan 2 = 1 sonucunu doğuran o denklemler setinin tomografisini çekelim. 

a   = b olsun (1). Bu kabul, takip eden denklemlerin ve onları elde etmemizi sağlayan matematiksel operatörlerin temel varsayımıdır. 

a² = ab (2). Denklem (1)'in her iki tarafını da a ile çarptık. 

a² - b² = ab - b² (3). Denklem (2)'nin her iki tarafından b²’yi çıkardık.  

(a – b) x (a + b) = b(a – b) (4). Denklem (3)'ün iki tarafını bu şekilde açmak mümkündür.Bu durumda, denklemin her 2 tarafındaki (a - b)’ler birbirini götürür ve denklem şu hali alır: 

a + b = b (5). Her iki taraftaki b’ler yerine, problemdeki tanım gereği, eşiti olan a konulduğunda denklem bu operasyondan sonra şu hali alır: 

2 a = a (6). Her iki taraftaki a’lar birbirini götürdüğünde denklem bu operasyondan sonra şu forma girer: 

2 = 1 (7). Bu eşitlik mümkün olamayacağına, yani 2 = 1 yazılamayacağına göre, acaba yukarıdaki adımların hangisinde hata yaptım, ne dersiniz?

İnsan yukarıdaki mantık ve matematik soruları gibi problemlere kafa yorduğunda 'matematik ve mantık güzel uğraşılar ve kardeşim!' demekten kendinizi alamıyor, öyle değil mi?