'Bir şey neyse o değildir, ne değilse odur' ya da 'Russell Paradoksu'(*)

      Gottlob Frege (1848 - 1925)                      Bertrand Russell (1872 - 1970)                                                 

151  yıl önce bugün Dünya'ya gözlerini açtığında, poposuna şaplağı basan ebenin 'Şuna da bakın hele, ağlamıyor, adeta 'Merhaba Dünya!' diyor bu velet diyerek kordonunu kestiği filozof, mantıkçı, matematikçi, dilbilimci, tarihçi, siyaset bilimci, akademisyen, yazar, pasifist, Bertrand Russell'lı eğlenceli ve aynı zamanda da zihin açıcı olan o meşhur 'Russell Paradoksu' ile analım istedim.

Buyursunlar.....

α - Medhal / prologue
Bu denemede ilkin 'kümeler Kuramı'na ve 'paradoks'a dair çok temel ve özet bilgi verilecek, hemen ardından 'Russell Paradoksu'nun genel hali ile onun çok bilinen iki popüler versiyonuna değinilecek; müteakiben Russell Paradoksu'nun ortaya çıkmasına yol açan sürece, Russell ve Frege arasındaki 'kümeler kuramına dayanan eksiksiz ve çelişkisiz bir aritmetik inşa etmek' temelli entelektüel karşıtlığa işaret edilecektir. 

Bernhard Bolzano, Gottlob Frege, Georg Cantor ve Bertrand Russell'ın düşünce kozmosumuza, matematik ve mantık enstrümanları bağlamında, sağladıkları yeni imkânların, onların bu hususlara dair çatışan görüşlerine de vurgu yapılarak, paylaşılmasının ardından, metnin finalinde, insanın bilebilirliğine (insan aklının - idrakinin sınırlarına) dair olan bir metafizik kabulün Russell - Gödel ikilisi tarafından nasıl dramatik bir şekilde değiştirildiği dillendirilecektir.

1 - Küme nedir?

Optik yanılsamanın yol açtığı
görsel bir paradoks.

Kümeler Kuramı'nın (Set Theory) temel birimi KÜME'dir. Cantor - Frege hattının entelektüel mirasıyla, izleyenlerinin buna yaptıkları katkıya baktığınızda 'KÜME', kısaca ve basitçe, aritmetik disiplini içerisinde yapmanız gereken bütün operasyonları üzerinden yürütebileceğiniz (sayıların mütekabili olan) temel birimlerdir, formlardır. Partiküler Fizik'teki temel parçacıkların, ya da Sicim Teorisi'ndeki sicimlerin matematik, mantık ve dilbilimdeki karşılıklarıdır kümeler. 

'Bütün Kümeler Kümesi' sonsuz sayıda elemana (kümeye) sahiptir. Sonsuz sayıda olan bu (alt) kümelerin bazıları sonsuz, bazıları ise sonlu sayıda elemana sahiptir. 'Sonsuz Elemanlı Kümelerin Kümesi' de 'Sonlu Elemanlı Kümelerin Kümesi' de sonsuz elemanlıdır. Dolayısıyla da 'Bütün Kümeler Kümesi' için sonsuz x sonsuz (∞ x ∞) eleman içeren; ya da, (∞ x ∞) boyutlu olan bir kümedir denebilir. 

'Bütün Kümeler Kümesi'nin alt kümelerinden olan 'Kendisini İçeren Kümeler Kümesi' ile 'Kendisini İçermeyen Kümeler Kümesi'nin her ikisi de sonsuz elemana sahip olan kümelerdendir. Aşağıda mercek altına alınacak olan Russell Paradoksu işte bu 'Kendisini İçeren Kümeler Kümesi' içerisinde gerçekleşir.


2 - Paradoks nedir?
Bir ifade, kendisine referans vermesinin, kendisinden bahsetmesinin, kendisine gönderme yapmasının (metaforik bir ifadeyle, kendi üzerine katlanmasının, kapanmasının) bazı özel halleri sonucunda, kendi kendisiyle bir döngü oluşturur. İfadenin kendisiyle oluşturduğu bu döngü hali, doğru mu yoksa yanlış mı olduğuna karar verilemeyen; ya da, aynı anda hem doğru ve hem de yanlışmış gibi algılanabilen; ya da birbirine tamamen zıt olan, birbirini yanlışlayan / yalanlayan iki hükmün birden ortaya çıkmasına yol açar. Paradoks budur işte. 

PISA Testi, Matematik eğitimi ve Cheryl'ın yaşgünü problemi

0 - prologue:
2016 yılının Aralık ayında basınımızda tartışılan 2015 PISA testi sonuçları, çocuklarımızın bu alanda başarısız olduklarını bir kez daha ortaya koydu. Bu durum, ister istemez, eğitim sistemimizin kalitesi temelindeki o beylik, o kıdemli tartışmanın yeniden alevlenmesine neden oldu. 

3 yılda bir yapılan ve OECD üyesi ülkelerin ortalama yaşı 15 olan öğrencilerine uygulanan PISA Testi'nin güncel başarı haritasına şuradan erişebilirsiniz: 
https://www.oecd.org/pisa/data/

Bilim ve teknoloji alanlarında sözü geçen bir ülke olmanın ancak temel bilimler eğitiminde sağlanan başarı ile gerçekleşebileceği aşikârdır. Diğer temel bilimlerin eğitimi üzerindeki yadsınamaz tesirleri de düşünüldüğünde, matematik eğitimine ayrı bir önem verilmesi ve özen gösterilmesinin zorunluluğu çıkmaktadır ortaya. 2016 PISA Testi sonuçlarına bu çerçeveden yaklaşıldığında, matematik eğitiminin komponentleri olan bazı hususları mercek atına aldığım ve Nisan 2015'de yayınladığım bir yazımı (özellikle de onun, erişimde artık sıkıntı yaşanan kimi online kaynaklarını / referanslarını) güncelleyerek, yeniden paylaşmanın anlamı olduğunu düşündüm.

1 - Sosyal medyayı sarsan mantık sorusu (i):
Nisan'ın ilk günlerinde Singapur'daki bir lisede (Whitley Secondary School) yapılan mütevazı bir matematik sınavının bir sorusu Singapurlu tanınmış bir tv sunucusu tarafından Facebook'ta paylaşıldı. Çok kısa bir zaman içerisinde sosyal medya fenomeni haline gelen söz konusu soru, küresel bir popülarite kazanarak sayısız haber sitesinin konusu oldu. Soruya ve cevabına geçmeden önce, çok kısa da olsa, yapılan sınavdan bahsetmekte fayda var.

Dünyayı ayağa kaldıran mantık sorusu işte bu.

Bisikleti ışık hızında sürmek

Matematik (yanı sıra da yakın akrabası olan mantık) insan aklının en güzel uğraşı alanlarıdır. İlkinin cevabını paylaştığım, ikincisinin cevaplandırılmasını ise okura bırakacağım iki örnekle argümanımın altını doldurmaya çalışacağım. 

2 = 1' mi dediniz Dr Watson? Yok artık daha neler, siz, mantıksızlığı iyice tarz edindiniz azizim!

İran’ın iddiasına göre; Türkiye, ABD ve İsrail, Suriye’ye ortak operasyon yapacakmış; şayet dindar genç değilseniz tinerci genç olma riskiniz varmış; Mit Müsteşarı da dahil olmak üzere, devletimizin istihbarat örgütünün eski ve yeni üç önemli isminin görüşlerine KCK davası çerçevesinde başvurulacakmış; Taraf Gazetesinde yayınlanan Wikileaks belgelerine göre, emniyet yetkilileri,

İsmet Berkan’ın ilginç mantık sorusuna acaba doğru cevap verebildim mi, ne dersiniz?

Basınımızın birçok köşe yazarı, Pazar günleri, hafta içinde yazdıkları alışıldık konularından uzaklaşıp; kadın – erkek ilişkileri (özellikle de bunun sevda - aşk bahsi), gezi izlenimi, yeme – içme kültürü, teknoloji, sağlık, sanat, spor, edebiyat, felsefe ya da bilim gibi farklı alanlarda kalem oynatmayı tercih etmektedir. Okuyucu tarafından olumlu karşılanan, diğer bir deyişle başarısı sınanmış olan, bu yüzden de batı medyasında çok uzun bir süredir uygulanan bu tarz değişikliği, medya alanındaki birçok yenilikte olduğu gibi, ithal edilmiş ve yıllardır bizim medyamızda da kullanılır olmuştur.

test metodu, girdi, mantık-matematik münasebetine dair mülâhazat

1***son 'girdi'mde *, daha sonra sizlerle tartışmayı düşündüğüm kimi fikirlerime zemin oluşturacağını sandığım bir matematik (yoksa mantık mı?) bilmecesini paylaşmıştım.
buraya tekrar alıyorum onu:
'levent ve bülent oğullarıyla birlikte balığa giderler. levent'in oğlu berent 3, babası ise onun 2 katı balık tutar. bülent de oğlunun iki misli balık tuttuğuna ve tutulan toplam balık adedi 21 olduğuna göre her biri kaçar balık tutmuştur ve bülent'in oğlunun adı nedir?'
biraz dikkatli bakınca kolaylıkla anlaşılacağı üzere balığa çıkanlar dede(bülent), baba(levent) ve torun(berent) üçlüsüdür. tuttukları balık sayısı ise dededen başlayarak 12, 6 ve 3'tür.
peki, nasıl muhakeme edelim ki, bu soruyu bi bakışta çözelim?
aslında çok basit, öyle değil mi?
problemde 'verilen bilinenler seti' bize balığa 2 baba ve 2 oğulun gittiğini ima etmekte. bundan hareketle onların 4 kişi oldukları intibaını ediniyoruz başlangıçta. lakin, bilinmeyenlere (bülent'in oğlunun ismi ve kaçar balık tuttukları) baktığımızda 2. oğlun isminin mevcut veri seti içerisinden saptanamayacağını anlayıveriyoruz. o zaman da onların 4 kişi olmadıkları hükmü çıkıveriyor ortaya. '2 baba ve 2 oğuldan tertip edilen bir hey'et 4 kişi değilse, hiç kuşkusuz 5 kişi ya da 2 kişi olamayacağınına göre, olsa olsa 3 kişidir ve bu da dede, baba, oğul trinity'sidir deyip 'şıp diye' çözüyoruz meseleyi. o zaman da tutulan balık sayısı 3, 6, 12 serisi şeklinde oluşuyor. aslında, sorunun balık adetlerine dair olan kısmının, balığa çıkanların sayısının 4 olduğu kabulü üzerinde yükselen bir de 3, 6, 4, 8 şeklinde olan 'doğru' cevabı var ki, bu 'uygunluk' hususu soruya muhattap olanların bir kısmını yanıltabiliyor.
evet, mezkur sorunun ezbere dayanmayan ve bu bakımdan da bana göre 'makbul' sayılması gereken 'hal tarzı' budur efendim.
peki, tam da burada bütün ağırlığı ve meşruluğu ile girmiyor mu şu an içerisinde nefes aldığımız 'negotiation sphere'e şu soru:
'8 yaşındaki bebelere bu soruyu çözdürmek için onlara 'çoktan seçmeli test' mantığına uygun 'çözüm yolları' ezberletmek çocuklarımızın mantık-matematik muhakemesini mi geliştirir, yoksa onları 'başkalarının çıkma aklına muhtaç olan' mukallitlere, papağanlara mı dönüştürür?
işte, çocuklarımızın verili 'çoktan seçmeli test' temelli eğitim vasatları karşısında cevaplamamız gereken hayati sual budur!
 2***'girdi' mi doğru, 'giriş'mi? mes'elesine geliyorum 'girdi'min 2. adımında.
efendim, bu suale dair fikir serdederken farklı metotları kullanmak mümkündür:
gramatik - sentakstik metot veya hermenötik - semantik metot gibi.
gramatik metodu kullanarak çözüme erişmeyi bu platformada doğrusu çok da 'sevimli' bulmuyorum. zira, bu yol çok teknik, fevkalade kuru ve sıkıcı gelebilir bu sahaya yabancı eşhasa.
kaygımı bir örnekle somutlamaya çalışıcam.
girmek: fiil; giren: fail; girilen: mef'ul
peki, bu tirinity'de 'giriş' nereye oturuyor, fiil makamına mı, fail postuna mı, mef'ul mevkiine mi?
buradan hareketle, aslında 'giriş' tercihinin 'galat'ı meşhur' derekesine erişmiş sakil ve fevkalade yanlış bir terim olduğunu ispatlamak benim için inanın çok kolay.
ama yapmıcam bunu.
tartışmanın bundan sonrasını, katılımın daha çok olacağına inandığım semantik - hermenötik üzerinden yapacağım.
ha, bu arada bazılarınızın 'hop, orda dur bakalım zahir, dil konvansiyonel bir sistemdir ve 'galat-ı meşhur lügat-ı fasığa evladır'!' diye seslendiğinizi duymadığımı sanmayın.
evet, dil temelde, özünde 'uzlaşımsal' bir tertiptir, buna eyvallah. lakin, ikinci argümana, yani mevzuun 'galat' bahsine teslim olmaya hiç niyetim yok doğrusu. ben burada, sakil duran ve 'galat' olan giriş yerine 'girdi'yi 'teklif ediyorum' ve benim bu teklifimi paylaşacak eşhasla birlikte, buna dair bir konvansiyon inşa etmeye uğraşıyorum.
bir kere şunda anlaşmamız gerekiyor:
girdi çok geniş kullanımlı bir terimdir. ekonomik literatür bu terimin tasarruf edildiği sahaların sadece birisidir, salt birisi değil!
modernite sonrası 'inter-disipliner' çalışmalarda, esasen terimler ait oldukları disiplinlerden ödünç alınarak çok farklı anlam kümelerini tarif ve tavsif için de kullanılır olmuşlardır.
'girdi' ve 'çıktı' gibi birçok sistem analizi terimi inter-disipliner perspektifle yöneylem araştırmalarında, lineer akış şemalarında, sibernetik dolayımlarda, feed - back mekanizmlarında, uzaktan kontrol problemlerinin çözümlerinde, yazılımlarda kullanılır olmuşlardır.
bu bakımdan 'girdi', ekonominin dar kalıplarına, 'input - output' analizlerine mahkum olmaktan kurtulalı aşağı yukarı bir 50 yıl oldu diyebiliriz.
sizi bilmem, ama ben yukarıdaki gerekçelerden dolayı 'giriş' yerine 'girdi'yi tercih ediyorum.
sizin tercihinize de karışmıyorum.
3***'girdi'min başındaki bilmece mantık sahasına mı, yoksa matematiğe mi aittir?' sorusuna gelince, bu sanırım üzerinde hemen ittifak edeceğimiz denli sarih bir cevaba maliktir.
mantık ve matematik arasındaki hudutlar çok fludur ve bu disiplinleri farklı medyumlar olarak görmeyen çok önemli bilim ve felsefe insanları vardır.
ben burada birçokları arasında sadece russell ve whitehead'ı ve onların o anıtsal eserlerini, 'principia mathematica'yı hatırlatmakla iktifa edeceğim.

malumunuzdur, matematiksel mantığın ve mantıksal matematiğin bible'ı addedilen mezkur eser; mantık ve matematiğin arasında varolan 'görülür ve görülmeyen sayısız kılcal irtibat'ın onları farklı disiplinler olmaktan çıkardığına ve 'janus'un kafasındaki birisi öne, diğeriyse arkaya bakan iki yüz gibi bir fenomenin farklı 2 veçhesi kıldığına işaret eder.

ki, ben de bunlara iştirak etmekteyim naçizane.
bu yazı, pardon, bu 'girdi' bu kadar olsun, efendim!

* yukarıdaki metin, yazının ilk kez yayınlandığı http://www.tahinpekmez.org/ terminolojisinde yazarların siteye koydukları metinlere verdikleri ad (giriş, girdi, entry vb..) etrafında yapılan tartışmaya dair bir fikir beyanı olup bundan evvel bu bloğa konulmuş olan yazının da devamıdır.

'teğet geçti' tartışmasına gecikmiş bir müdahale

Bir nebzecik de olsa matematik ve fekat hasseten de geometri tedris etmiş olanlar bilirler ki; teğet geçen teğet geçtiğini etkilemez. 

'Niçün?' diyen o güzel sesleriniz buralara değin intikal ettiğ'içündür ki, bu hususa dair azıcık kalem oynatma zarureti, kedisini bir nev'i 'ferd-i-hakir-i-fakir-i taliban-ı hakikat' addeden şu kardeşcağzınızda hasıl olmuştur efendim.

Öyleyse azıcık ilm'edelim.

Akademik tanımını biraz vulgarize ederek alıyorum buraya: teğet geçmek bir doğrunun bir eğriye bir noktadan değmesidir. Dikkat, buradaki kritik husus ‘bir nokta’ ifadesidir. Öyleyse, matematiksel nokta tanımı hatırlamanın tam da sırasıdır: Mezkur subject boyutsuz bir matematiksel cisim(nesne)dir. Boyutsuz olduğu için sonsuz küçüktür; fiziki bir varlığı, reel dünyada bir mütekabili ve gerçeklik (dikkat, Hakikat değil, gerçeklik dedim. yakında bu hususa da gireceğiz inşallah) üzerinde hakiki bir tesiri, hükmü yoktur. Konunun önemine binaen tekraren yazıyorum: Matematikte nokta, tanımı gereği, sanal, sanki, sözde, imaginary bir cisimdir. İmdi, noktanın ve teğetin tanımları matematik ilmine göre böyle ise, teğet geçmek hadisesi söz konusu olduğunda bundan bizim anlamamız gereken husus, doğrunun eğriye bir noktadan ‘sanki’ değmiş olduğu, bir başka ifadeyle ‘değmiş numarası yaptığı’ keyfiyetidir. Bu değme imaginary, sanal, sözde olduğundan, ne değen doğru ve ne de değinilen eğride spin, moment, hız, istikamet, ivme bakımından bir değişikliğe neden olmaz. Bu bakımdan, şayet matematiksel tanımlarla ve bu disiplinin bize sağladığı imkanlar ve 'alet çantası'yla akıl yürütecek olursak, gerçek hayatta, reel dünyada bir şeyin bir diğer şeye teğet geçtiği hallerde, bu iki şeyin durumlarında, değerlerinde ve pozisyonlarında, bahis konusu teğet geçmekten kaynaklanan bir değişiklik olmamaklığı icap eder.

Zaten ismi üzerinde değil mi: teğet geçti deriz de teğet değdi demeyiz.

Matematikçi zaviyesinden 'teğet geçti - deldi geçti' polemiğinin esası budur efendim

matematik üzerinden, üstelik de şenlikli olanından devam edelim

son zamanlarda bazı köşe yazarlarının değindiği sevimli ve bir o kadar da basit bir matematik bilmecesine yer vereceğim burada. yıllardır popüler matematik mecralarında (mesela bilim ve teknik dergisinin standart bölümlerinden olan zeka soruları, ya da matematik kulesi bölümlerinde) yer alan bu bilmece mealen şöyle:
'levent ve bülent oğullarıyla birlikte balığa giderler. levent'in oğlu berent 3, babası ise onun 2 katı balık tutar. bülent de oğlunun iki misli balık tuttuğuna ve tutulan toplam balık adedi 21 olduğuna göre her biri kaçar balık tutmuştur ve bülent'in oğlunun adı nedir?'
evet, bu sevimli bilmecenin bu yakınlarda basınımıza malzeme olmasına neden olan kaynak neşriyat ilköğretim 3. sınıf bebelerine, yani 8 yaşındaki yavrularımıza yönelik olarak yayımlanan bir dergiydi yanılmıyorsam.
imdi, değerli tahinpekmez cemaatinin muhterem azalarından arzu edenler hiç kuşku yok ki bu girdime, problemin çözümünü de içeren yorumlarını göndereceklerdir.
müteakiben bendeniz de, bu problemi gündeminize taşımama neden olan 'problemler'i paylaşacağım inşallah.