'Bir şey neyse o değildir, ne değilse odur' ya da 'Russell Paradoksu'(*)

      Gottlob Frege (1848 - 1925)                      Bertrand Russell (1872 - 1970)                                                 

151  yıl önce bugün Dünya'ya gözlerini açtığında, poposuna şaplağı basan ebenin 'Şuna da bakın hele, ağlamıyor, adeta 'Merhaba Dünya!' diyor bu velet diyerek kordonunu kestiği filozof, mantıkçı, matematikçi, dilbilimci, tarihçi, siyaset bilimci, akademisyen, yazar, pasifist, Bertrand Russell'lı eğlenceli ve aynı zamanda da zihin açıcı olan o meşhur 'Russell Paradoksu' ile analım istedim.

Buyursunlar.....

α - Medhal / prologue
Bu denemede ilkin 'kümeler Kuramı'na ve 'paradoks'a dair çok temel ve özet bilgi verilecek, hemen ardından 'Russell Paradoksu'nun genel hali ile onun çok bilinen iki popüler versiyonuna değinilecek; müteakiben Russell Paradoksu'nun ortaya çıkmasına yol açan sürece, Russell ve Frege arasındaki 'kümeler kuramına dayanan eksiksiz ve çelişkisiz bir aritmetik inşa etmek' temelli entelektüel karşıtlığa işaret edilecektir. 

Bernhard Bolzano, Gottlob Frege, Georg Cantor ve Bertrand Russell'ın düşünce kozmosumuza, matematik ve mantık enstrümanları bağlamında, sağladıkları yeni imkânların, onların bu hususlara dair çatışan görüşlerine de vurgu yapılarak, paylaşılmasının ardından, metnin finalinde, insanın bilebilirliğine (insan aklının - idrakinin sınırlarına) dair olan bir metafizik kabulün Russell - Gödel ikilisi tarafından nasıl dramatik bir şekilde değiştirildiği dillendirilecektir.

1 - Küme nedir?

Optik yanılsamanın yol açtığı
görsel bir paradoks.

Kümeler Kuramı'nın (Set Theory) temel birimi KÜME'dir. Cantor - Frege hattının entelektüel mirasıyla, izleyenlerinin buna yaptıkları katkıya baktığınızda 'KÜME', kısaca ve basitçe, aritmetik disiplini içerisinde yapmanız gereken bütün operasyonları üzerinden yürütebileceğiniz (sayıların mütekabili olan) temel birimlerdir, formlardır. Partiküler Fizik'teki temel parçacıkların, ya da Sicim Teorisi'ndeki sicimlerin matematik, mantık ve dilbilimdeki karşılıklarıdır kümeler. 

'Bütün Kümeler Kümesi' sonsuz sayıda elemana (kümeye) sahiptir. Sonsuz sayıda olan bu (alt) kümelerin bazıları sonsuz, bazıları ise sonlu sayıda elemana sahiptir. 'Sonsuz Elemanlı Kümelerin Kümesi' de 'Sonlu Elemanlı Kümelerin Kümesi' de sonsuz elemanlıdır. Dolayısıyla da 'Bütün Kümeler Kümesi' için sonsuz x sonsuz (∞ x ∞) eleman içeren; ya da, (∞ x ∞) boyutlu olan bir kümedir denebilir. 

'Bütün Kümeler Kümesi'nin alt kümelerinden olan 'Kendisini İçeren Kümeler Kümesi' ile 'Kendisini İçermeyen Kümeler Kümesi'nin her ikisi de sonsuz elemana sahip olan kümelerdendir. Aşağıda mercek altına alınacak olan Russell Paradoksu işte bu 'Kendisini İçeren Kümeler Kümesi' içerisinde gerçekleşir.


2 - Paradoks nedir?
Bir ifade, kendisine referans vermesinin, kendisinden bahsetmesinin, kendisine gönderme yapmasının (metaforik bir ifadeyle, kendi üzerine katlanmasının, kapanmasının) bazı özel halleri sonucunda, kendi kendisiyle bir döngü oluşturur. İfadenin kendisiyle oluşturduğu bu döngü hali, doğru mu yoksa yanlış mı olduğuna karar verilemeyen; ya da, aynı anda hem doğru ve hem de yanlışmış gibi algılanabilen; ya da birbirine tamamen zıt olan, birbirini yanlışlayan / yalanlayan iki hükmün birden ortaya çıkmasına yol açar. Paradoks budur işte. 


İleri okumalar için başvurulabilecek kaynaklar kısmında önerdiğim Douglas R. Hofstadter'ın ufuk açıcı eseri Gödel, Escher, Bach: Bir Ebedi Gökçe Belik'in tamamı, özellikle de bu kitabın 15 - 73 sayfaları arasındaki giriş bölümü döngüler temelli paradokslar için iyi bir referanstır (**).

İmkânsız Üçgen, Roger
Penros'un icadıdır.

3 - Russell Paradoksu
Akademik çevrelerde 'Russell Paradoksu', popüler söylemlerde ise çoğunlukla 'Berber Paradoksu', bazen de 'Katalog Kitap Paradoksu' şeklinde anılan argüman; felsefe, mantık ve matematik tarihlerinin önemli ve enteresan meselelerinden birisidir. Yazdığım bir kurmacanın (***) da çıkış noktası ve ilham kaynağı olan bahse konu paradoksun (basitleştirilmiş / vulgarize edilmiş) genel ifadesi şöyledir:

'Bir şey ne ise o değildir, ne değilse odur.'

İlk muhatap olduğunuzda 'bu ne be!?!' şeklinde tepki vermenize neden olabilecek, mugalâta / totoloji fasilesinden bir ifadeye maruz kaldığınız algısının zihninizde yer edinmesine yol açabilecek olan mezkûr argümanı, onun özel halleri olan iki popüler versiyonuyla detaylandırarak, daha anlaşılır hale getirmeye çalışacağım. 

4 - Russell Paradoksu'nun popüler halleri:
   a)Katalog Kitap Paradoksu:

Bir kitap düşünelim.

Bu kitap hiçbir kitapta kendisinden bahsedilmeyen kitapların künye (kısa kitabiyat) bilgilerini barındıran bir bibliyografik (katalog) kitap olsun.

Georg Cantor (1845 - 1918)

İmdi soru şu:
Bu katalog kitap kendisinde yer alabilir mi?

Söz konusu kitap, tanımı gereği herhangi bir kitapta yer alan kitapları içeremeyeceğinden, kendisinde yer alamaz, kendisini içeremez. 

Öte yandan, aynı kitap, gene yukarıdaki tanımı gereği, kendisini içermezse kendisini içerir. 

Bir imkânsız
nesne daha.

Bir diğer deyişle, kendisini içerirse kendisini içermez, kendisini içermezse kendisini içerir.

Kolaylıkla görülebileceği üzere, bu ifade Russell Paradoksu'nun özel bir halidir.

   b)Berber Paradoksu:

Bir beldede, varsayalım ki Berberistan'da, bir berber var imiş. Bu berber sadece kendisini tıraş etmeyenleri tıraş edermiş.

O zaman soru şu:
Bu berber kendisini tıraş edebilir mi?

Modern Mantık işte bu kitapla doğdu.

Tanım gereği kendisini tıraş edemez; ancak, kendisini tıraş etmemesi durumunda, yine tanımı gereği, kendisini tıraş eder.

Bir diğer deyişle, bu berber kendisini tıraş etmezse kendisini tıraş eder; kendisini  tıraş ederse kendisini tıraş etmez.

Berber Paradoksu'nun da Russell Paradoksu'nun bir özel hali olduğu ortadadır.

Peki, Socrates'a nispet edilen 'Bildiğim tek şey hiçbir şey bilmediğimdir (Hoc unum scio me nihil scire)’ sözü Russel Paradoksu ailesinden bir önerme midir? Bu ifade 'kendi kendisine göndermeli' bir argüman olmadığından ne bir paradoks, ne de bir Russell Paradoksu'dur. O, bir niceliği (birisinin bilgi düzeyini) aynı anda hem sıfırdan büyük bir pozitif değere ve hem de sıfıra eşitleyerek basit bir çelişik ifade örneği koymuştur ortaya (****).  

Russell Paradoksu'nun tarihsel arka plânına yapacağımız bir keşif gezisi, onu daha iyi anlamamıza yardımcı olacaktır. İşte matematik, mantık ve felsefenin kesişmeleriyle oluşmuş olan mezkûr paradoksun kısa tarihçesi (*****).
Russell Paradoksu hakkında Amir D. Aczel'in 'Why Science Does Not Disprove God?' isimli kitabındaki yorumunu da paylaşıyorum (******).

5 - Frege, Cantor ve modern mantığın doğuşu:
Modern mantığın başlangıcı Gottlob Frege'nin 1879'da yayınlanan 'Begriffsschrift' kitabıdır (iv). Begriffsschrift (İngilizcesi ideography) 'fikirlerin simgelerle / sembollerle ifade edilmesi demektir. Bu kitabıyla Frege, Leibniz'in 'Kanıt Teorisi' temelinde inşaa ettiği bir önermeler mantığı teklif eder. 

Ancak Frege'nin bir sıkıntısı vardır: sayıları teklif ettiği bu önermeler mantığına uygun olarak formüle (sembolize) edemiyordu. İmdadına, dönemin bir başka anıtsal matematikçisi, mantıkçısı ve felsefecisi olan Cantor'un Kümeler Kuramı yetişti. Frege, 'kümeler kuramı temelinde eksiksiz ve çelişkisiz bir aritmetik kurmak adına' yazdığı Aritmetiğin Temelleri (1. cilt: 1893, 2. cilt. 1903) isimli çığır açan eserini borçlu olduğu Cantor'un Kümeler Kuramını şöyle selâmlamıştı: 'kümeler akla gelebilecek en temel matematiksel şeylerdir. 

Frege'nin tıkandığı yerde, ona ihtiyaç duyduğu devrimci matematiksel aletleri, Set Teorisi'ni sağlayan Cantor'un, bu doğrultudaki öncü çalışmalarından birisinin  yayınlandığı 1871 tarihi Mathematische Annalen.

6 - Russell vs. Frege

Frege'nin Russell tarafından
yanlışlanan ünlü eseri
Aritmetiğin Temelleri'nin
ilk baskısı.

Frege'nin 1893'de Jena'da Hermann Pole Yayınevi tarafından basılan 'Aritmetiğin Temelleri' eserini adeta didik didik ederek okuyan Bertrand Russell, 1901'de onda çok önemli bir çelişki olduğunu gördü. Russell (Berber ya da Katalog Kitap) Paradoksu işte bu çelişkiye dayanır.

Frege, hem yayınladığı ilk cildi istediği ilgiyi görmediğinden, hem de özelde aritmetiği, genelde ise matematiği çelişkisiz ve eksiksiz bir bilim haline getirmek hedefi bir insanın (o ne denli deha sahibi olursa olsun) kapasitesini çok aşan bir ülkü olduğu için, Aritmetiğin Temelleri'nin 2. cildini ancak 1902'de matbaaya teslim edebilmişti.

Kitap matbaaya verildiğinde, ismi bilim çevrelerinde yeni yeni duyulmaya başlamış olan 30 yaşındaki 'çaylak' Russel, Frege'ye bir mektup gönderdi (16 Haziran 1902). Bu, bilim tarihinin en dramatik gelişmelerinden birisinin fitilini ateşleyen tarihi bir olaydı. Genç Russell mektubunda, eserin ilk cildini çok yararlanarak okuduğuna, onu çok sevdiğine ve ikinci cildi dört gözle beklediğine işaret ederek yazarını göklere çıkarır. 

Övgülerle ilerleyen mektubun ortalarında patlatır bombayı Russell: 'Kümeler, tanımları gereği, kendi kendilerinin elemanıdırlar. Bu durumda, 'kendilerinin elemanı olmayan kümelerin kümesi'nin de kendisinin elemanı olması gerekir. Bu açık bir çelişkidir!'

Russell, ünlü meslektaşının 'aritmetiği kümeler kuramı temelinde çelişkisiz ve eksiksiz olarak yeniden inşâsı' ülküsünü, yazdığı bir kaç satırlık bir mektupla 'alnının tam ortasından' vurmuştur. Bu mektubu 6 gün sonra, 22 Haziran'da cevaplayan Frege'nin satırlarında, yaşadığı derin psikolojik yıkımın ve amansız depresyonun izleri hakimdir. Aynı psikolojinin, bu mektuplaşmadan birkaç ay sonra, 1903'ün başlarında, yine Jena'daki Hermann Pole yayınevi tarafından basılan eserin 2. cildine eklenen sonsöz'e de damgasını bastığı görülür. 

Kurt Gödel (1906 - 1978)

7 - ...ve Gödel tabuta son çiviyi çakar

Özetle, ne Frege'nin 'Aritmetiğin Temelleri', ne onu takip eden Russell ve Alfred North Whitehead'in anıtsal ve kült eseri 'Principia Mathematica ve ne de, başta geometri olmak üzere matematiğin birçok disiplinini aksiyomatize etmeye çalışan David Hilbert'in insan ötesi gayretlerle kurduğu 'formalist mimari' eksiksiz ve çelişkisiz bir matematik inşâ etmeye yetmemiştir. İnsanlığın bu doğrultuda yarattığı o muhteşem müktesebata son ve en ölümcül darbeyi indiren ise Kurt Gödel'in 1931'de verdiği 'Principia Mathematica Gibi Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine (Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme)' başlıklı doktora tezidir. 

Ω - final / Epilogue

Doğal sayılar aritmetiğinin komponentleri olan operatörlerle bunların fonksiyonlarının aynı anda hem tutarlı ve hem de eksiksiz olamayacaklarını ve aksiyomların tutarlılıklarının sistem içinden yürütülecek operasyonlarla (akıl yürütmelerle) görülemeyeceğini / gösterilemeyeceğini kanıtlayan Kurt Gödel aynı zamanda metafizik bir kabulü de yanlışlamış oluyordu: Matematik kozmosu içerisinden sorulan bazı soruların hesaplanamaz / yanıtlanamaz olduğunu kanıtlayan Eksiklik Teoremi 'insanın sadece henüz sorulmamış olan soruları cevaplayamayacağı, sorulmuş her sorunun ise er ya da geç cevabının bulunacağı' merkezindeki o fizik ötesi kabulü / inancı da hükümsüz kılmıştı(*******).

dipnotlar:
(*): Bu metnin (sadece Berber Paradoksu ile Katalog Kitap Paradoksu'nu içeren) birinci versiyonu (altındaki ilk yorumun tarihinden de anlaşılacağı üzere) Temmuz 2011'de bu platformda paylaşılmıştı. Onu, bahse konu iki paradoksun genel hali olan Russell Paradoksunun tarihsel arka plânının eklenmesiyle oluşan, okunulan satırlar haline getirip paylaşmam ancak 5.5 yıl sonra, 2017 Ocak'ında söz konusu olabildi. Tam bir 'geç olsun, ama güç olmasın' hali anlayacağınız. Bu arada, içerdiği (paradokslar kümesine ait olmasa da, pekalâ çelişkiler kümesine aitmiş izlenimi uyandıran) enteresan alt metinleri yüzünden 'geç olsun, ama güç olmasın' ifadesin de müstakil bir blogda ele alınmayı hak ettiğini düşünüyorum. Umarım bu sefer 5.5 yıl beklemeden, tamamlayıp paylaşabilirim mezkûr yazıyı.  
(**): 'Küme nedir?' ve 'Paradoks nedir?' başlıklı bölümleri muhterem hocam Ferhat Özçep'in sosyal medya üzerinden yaptığı katkıdan sonra eklemeye karar verdim.
(***): Russell Paradoksu'nun özel hali olan Berber Paradoksu'ndan mülhem bir kurmaca metin için bknz. http://ziyaversencan.blogspot.com/2011/07/berberistann-dunyaca-meshur-berberinin.html
(****): İlkin paradoksmuş intibaı uyandıran, analiz edildiğinde ise çelişik bir ifade olduğuna hükmedeceğimiz 'Bildiğim tek şey hiçbir şey bilmediğimdir (Hoc unum scio me nihil scire)’ argüman ı hakkında bir metin için bknz.
http://ziyaversencan.blogspot.com.tr/2014/10/n4-bicim-mantk-bu.html
(*****): Türkçe edisyonunun çıktığı Ekim 2012'de alıp bir solukta okuduğum Bertrand Russell'ın hayatını ve görüşlerini anlatan Logicomix isimli çizgi romanı kaynakça kısmına eklemeyi ihmal etmiştim. Değerli dostum Tanol Türkoğlu'nun, aşağıda yaptığı yorumda buna işaret etmesi, Logicomix'i de kaynakça bahsine eklememe neden oldu. Onun bu katkısı sayesinde, bahse konu kitabı hızla tarayarak, okunulan satırlara bir - iki ufak rötuş da yaptığımı paylaşmak isterim. Tanol Türkoğlu'nun katkısına cevaben yazdığım aşağıdaki yorumda da görüleceği üzere, Logicomix'le ilgili olarak (Ekim - Kasım 2012'de) yazdığım, ama çok uzun olduğu için paylaşamadığım, bir yazımı da, yeniden ele alarak kısaltmayı kısa vadeli yazma hedeflerim arasına ekledim.  
(******): https://www.academia.edu/18821417/Why_Science_Does_Not_Disprove_G_-_Amir_Aczel    

(*******): Konunun ilgilisinin okumasını önerdiğim iki Russell konulu blogumun linkleri:

https://ziyaversencan.blogspot.com/2021/02/alfred-north-whitehead-bertrand-russell.html    

https://ziyaversencan.blogspot.com/2021/03/georg-cantor-sonsuz-kume-sonsuz-otesi.html

kısa kaynakça ve okuma önerileri:
(i): Russell (Berber) Paradoksu hakkında daha ayrıntılı bilgi için bknz.
***https://tr.wikipedia.org/wiki/Berber_paradoksu
***Russell Paradoksu'nun yetkin ve kapsamlı bir tasvir ve tahlili için bknz.
Matematik Dünyası Dergisi, yazan: Ali Nesin, 2003 Kış, sayfa: 27 - 32.
http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/PDF/03_4_27_32_RUSSELL.pdf
(ii): Bertrand Russell'ın hayatı için bknz.
***https://tr.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell
***https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell
(iii): Gottlob Frege için bknz.
***https://tr.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Frege
***https://en.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Frege
(iv): Georg Cantor için bknz.
***https://tr.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
***https://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor
(v): Kurt Gödel için bknz.
***https://tr.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del
***https://en.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del
(vi): Mantık - Düşünme Sanatını Anlamak İçin Çizgibilim; yazanlar: Dan Cryan - Sharron Shatil - Bill Mayblin, çeviren: Nurettin Elhüseyni, NTV Yayınları, 2010.
(vii): Büyük Matematikçiler I ve II, yazan: Eric Temple Bell, tercüme edenler: Ömer İnönü - İsmail İşmen - Cüneyt Akova - Zübeyir Demirgüç, MEB Yayını, 1945 - 1947.
(viii): Matematikçi Portreleri, Ali Nesin - Ali Törün, Nesin Yayınları, 2015.
(ix): Büyük Matematikçiler - Euler'den Von Neumann'a, yazan: İoan James, çeviren: Cumhur Öztürk, İş Bankası Kültür Yayını, 2013.
(x): Logicomix, fikir - öykü - senaryo: Apostolos Doksiadis - Hristos H. Papadimitru, resimleyen: Alekos Papadatos, İngilizceden çeviren: Özge Özgür; Albatros Yayınları Ekim 2012.
ileri okumalar için başvurulabilecek kaynaklar:
(xi): Matematiğe Giriş - 1; Önermeler Mantığı, yazan: Ali Nesin, Nesin Yayınları, 2010.
(xii): Matematiğe Giriş - 2; Sezgisel Kümeler Kuramı, yazan: Ali Nesin, Nesin Yayınları, 2010.
(xiii): Set Theory and Logic, Robert R. Stoll, Dover Publications, Inc., New York, 1979.
(xiv): Principles of Mathematics, Bertrand Russell, W. W. Norton & Company, New York - London, baskı tarihi belirtilmemi (c. 1970'ler).
(xv): Gödel, Escher, Bach: Bir Ebedi Gökçe Belik, yazan: Douglas R. Hofstadter, çeviren: Ergün Akça - Hamide Koyukan, Kabalcı Yayınevi, Temmuz 2001.